- 페르마의 위대한 업적
- 프로 수학자들 도발한 페르마
- 페르(악)마의 마지막 정리
페르마의 마지막 정리 [357년의 수학 난제]
- 페르마의 위대한 업적
- 프로 수학자들 도발한 페르마
- 페르(악)마의 마지막 정리
수학사상 최고의 난제였던 ‘페르마의 마지막 정리’를 남긴 피에르 드 페르마(Pierre De Fermat)는 프로 수학자가 아니었다. 그는 1600년경 프랑스에서 태어났으며, 법률가로 활동했다. 재판소에 근무하는 유능한 지방공무원인 그에게 수학은 그저 취미에 불과했다.
하지만 아마추어 수학자였던 그가 진정한 천재라는 점은 수많은 일화를 통해 알 수 있다. 상위권 세특 기록 가운데 30%에는 반드시 등장하는 ‘페르마의 마지막 정리.’ 무려 357년 동안이나 세계의 수학자들을 곤란하게 만들었던 페르마의 마지막 정리와, 거만해 보일 정도로 엄청난 업적을 일구었던 그의 일화들.
이를 읽어보고 세특에 어떻게 기록되도록 활동하면 좋을지 생각해 보자.
페르마의 위대한 업적
1. 확률론의 창설
페르마는 사람들과 접촉하는 것을 싫어했다. 그런 그가 특별히 호감을 느끼던 인물이 천재 파스칼이다. 파스칼은 수학에 따른 확률론의 창시자로 ‘확률론의 아버지’라고 불린다. 그런데 사실 그것들은 전부 페르마와의 의사소통 과정에서 태어났다. 즉 확률론의 반은 페르마의 공적이라 할 수 있다.
2. 미적분의 발견
수학의 미분, 적분은 뉴턴이 발명했다고 하지만 실은 그 아이디어에 가까운 것은 페르마의 머릿속에서 나왔다.
뉴턴이나 라이프니츠가 태어나기 10여 년 전 이러한 성과를 얻었으며, 무엇보다 뉴턴 스스로 ‘페르마한테서 아이디어를 얻었다’고 서간에 남긴 것을 보면 더욱 분명하다. 이러한 일화만 보더라도 페르마가 아마추어이면서 수학 천재였던 것에 의심의 여지는 없다.
3. 해석기하학의 수립
페르마는 그리스의 3대 수학자 아폴로니오스의 [원뿔곡선론]을 공부하며 기하학에 대수학을 접목시킨 해석기하학을 발명했다.
페르마의 원고에 따르면 그의 해석기하학은 해석기하학의 창시자로 알려져 있는 데카르트의 것과는 별개이고, 그보다 먼저 해석기하학을 발명했다는 것을 알 수 있다. 또한 페르마의 좌표계는 데카르트의 것보다 오늘날의 좌표계에 훨씬 더 가깝다.
4. 근대 정수론의 구축
페르마의 업적 가운데 가장 뛰어난 부분은 정수론이다.
그는 평소 저명한 수학 이론서를 즐겨 읽으며 생각나는 것들을 책 귀퉁이 여백에 적어 놓는 습관이 있었다. 특히 그는 그리스의 수학자 디오판토스의 [산술(아리스메티카, Arithmetica)]을 연구하면서 ‘페르마의 소정리’, ‘페르마의 마지막(대) 정리’ 등의 메모를 남겼다. 이를 증명하기 위해 많은 수학자들이 애쓰면서 정수론이 발전됐다.
프로 수학자들 도발한 페르마
그런데 페르마에게는 매우 짓궂은 버릇이 있었다. 그는 수학의 새로운 사실을 발견하고도 그 증명의 아름다움에 만족하면 증명 방법을 써 붙였던 메모들을 죄다 쓰레기통에 처박아 버렸다.
그는 수학을 본업으로 연구하지 않았기 때문에 수학계의 공헌이나 명예 따위는 어떻게 돼도 상관없었다. 아름다운 수학의 세계를 조용히 감상하는 것으로 충분했던 그는 증명을 기록으로 남기는 법이 없었다.
게다가 페르마의 고약한 버릇은 하나 더 있었다. 바로 자신의 수학적 성과를 바다 건너 영국의 프로 수학자들에게 편지로 보내는 것이었다. ‘나는 이러이러한 수학의 명제를 증명했다’라는 편지에는 그냥 증명했다는 내용뿐, 결코 그 방법을 써놓지는 않았다.
이렇게 페르마는 하늘같은 수학 선생들에게 새로 발견한 수학의 정리를 보내, 당돌한 도발을 자행했다.
나는 이런 정리를 증명했는데, 당신들은 그 방법을 아직도 모르는가?
그의 이런 도발 행위에 프로 수학자들은 펄쩍 뛰었다. ‘아마추어 주제에 이런 건방을 떨다니!’라며 그들은 페르마가 보내온 정리의 증명에 도전했다. 그런데 이것이 결코 만만치 않아 그 당시의 최신 수학 기법을 총동원해도 전혀 증명의 아이디어를 찾아낼 수 없었다.
급기야 프로 수학자들조차 두 손을 들었다. ‘아~ 도무지 모르겠다. 아마추어가 이런 증명을 할 수 있었다니 그건 순전히 거짓말이야! 그럼, 그렇고말고.’ 이렇게 그들이 증명을 내던지려고 할 때마다 페르마는 조금씩 힌트를 던졌다.
이런 것도 모르는가? 풋! 하는 수 없지. 그렇다면 내가 주는 이 힌트를 사용해 한 번 더 해 보길.
평소의 페르마는 논쟁을 벌이거나 발끈하고 나서는 것을 싫어하며, 식물처럼 평온하고 조용한 삶을 좋아하는 사람이었다. 그런 그가 마치 딴사람이라도 된 것처럼 바다 하나를 끼고 멀리 떨어진 나라의, 얼굴도 모르는 상대를 조롱하며 즐기는 행동은 지금의 인터넷 사정과 아주 흡사한 것 같기도 하다.
현대에도 아마추어 연구자들이 새로운 발견이라며 프로 수학자들에게 편지를 보내는 일은 부지기수이다. 그런 경우는 대개 오류투성이여서 명제가 성립하지 않는 것이 대부분이다. 그러나 페르마는 달랐다. 그의 수학적 능력은 프로 수학자를 완전히 능가하는 것이었다.
그런데 앞서 말한 대로 페르마는 자신의 수학적 성과를 논문으로 정리하거나 공표하지 않았다.
그래서 결국 당시 수학계로부터 주목 받는 일도 없이 원하던 대로 평온하고 조용하게 생애를 마치게 된다. 물론 그것뿐이었다면 페르마는 누구에게도 알려지지 못한 채 역사 속에 고스란히 잠들었을 것이다.
하지만 그가 메모로 끼적거려 놓았던 내용을 사후에 그의 아들 클레망 사뮈엘 페르마가 정리해 출판하면서 페르마는 세상 사람들로부터 주목을 받게 되었다. 아들이 출판한 책에는 이런 문장이 실려 있었다.
아버지가 증명했다고 메모를 남겼지만, 그 중요한 증명 방법이 남아 있지 않은 48개의 정리
보통은 진짜로 증명했는지 알 수도 없는 정리 따위는 쓸데없는 이야기로 치부돼 아무도 믿지 않았을 것이다. 하지만, 그것을 남긴 것은 다름 아닌 (일부 수학자들 사이에서 악명 높은) 페르마였다.
그는 지금까지 수많은 수학자들에게 아리송한 문제를 던져주고 조롱하며 즐겼는데, 단 한 번도 거짓 정리를 보낸 적은 없었다. 프로 수학자들조차 증명하지 못한 정리도 그가 ‘증명했다’고 하면 그것은 분명히 진실이었던 것이다. 즉 페르마의 인격은 제쳐놓고라도 수학적 재능에 있어서 그가 남긴 정리는 올바른 것일 가능성이 높았다.
그리하여 잃어버린 증명 방법을 찾아내기 위해 내로라하는 수학자들이 앞다퉈 페르마가 남긴 정리의 증명에 도전장을 내밀었다. 하지만 그 도전은 곤란에 부딪혔다. 역사에 이름을 남긴 천재 수학자들도 어떤 하나의 정리를 증명하는 데 몇 년이나 걸렸던 것이다.
예를 들어 페르마가 남긴 정리 중 하나인 ‘페르마의 소정리’는 지금도 널리 쓰이는 대표적인 공개키 암호 체계 ‘RSA 암호’ 제작에 쓰인다. 이런 정리가 페르마 사후 약 100년이 지난 1700년대, 천재 수학자인 오일러가 무려 7년의 세월을 들여 가까스로 발견했을 정도이니까 더 말할 필요도 없겠다.
페르(악)마의 마지막 정리
그래도 수학자들의 끈질긴 노력으로 페르마가 남긴 정리의 증명들이 하나하나 발견되었다. 하지만 아무리 노력해도 해결되지 못하고 반드시 남겨지는 한 가지가 있었다. 누구도 증명을 이끌어내지 못하는 정리.
그것은 바로 페르마가 당시 읽었던 책의 한쪽 귀퉁이에 낙서처럼 적은, 당장에라도 증명할 수 있을 것처럼 보이는 간단한 정리였다. 그 정리에 대해 페르마가 남긴 메모는 다음과 같다.
페르마의 마지막 정리
n≥3일 때, xⁿ+yⁿ=zⁿ을 만족하는 자연수 x,y,z는 존재하지 않는다.
그렇다. 페르마의 마지막 정리는 단지 이러한 내용에 지나지 않는다. 매우 간단한 것처럼 보이는 페르마의 마지막 정리가 담고 있는 의미를 자세히 설명하면 다음과 같다.
xn+yn=zn 이라는 식에 대해
① n=2인 경우, 즉 x2+y2=z2 인 경우는 32+42=52(x=3,y=4,z=5)와 같은 답이 나오지만,
② n≥3(n이 3이상)인 경우, 즉 x3+y3=z3 이나 x4+y4=z4, x5+y5=z5 인 경우는 식을 만족하는 자연수 x,y,z가 절대로 존재하지 않는다.
그런데 중학생도 이해할 수 있을 것 같은 이런 단순한 정리를 두고 막상 “정말 그렇게 되는 것을 증명할 수 있는가?”라고 묻는다면, 역사 속의 어떤 천재 수학자라도 서슴없이 칼을 뽑을 수 없을 정도로 무척 어려운 문제가 된다.
나는 이 명제에 대해 정말 놀라운 증명 방법을 발견했다.
하지만, 그것을 다 쓰기에는 이 여백이 너무 좁다.
그가 발견한 ‘정말 놀라운 증명 방법’이란 도대체 무엇이었을까? 소문이 소문을 낳아 어느 틈엔가 그것은 ‘페르마의 마지막 정리’ 혹은 ‘페르마의 대정리’라는 이름으로 불리게 된다. 그리고 이 정리는 무려 페르마 사후 357년 동안, 누구도 증명하지 못하고 수많은 수학자들을 미치게 만드는 악마 같은 존재가 된다.
이후 1995년 영국의 수학자 앤드류 와일즈가 증명에 성공하면서, 수학사상 가장 길었던 증명의 대장정은 막을 내리게 된다.
*자료 제공=지브레인 출판사
- 이 기사는 '나침반 36.5도' [Sci&Tech]에 실린 내용의 일부입니다.
페르마의 마지막 정리를 증명하기 위해 앤드류 와일스(Andrew Wiles)는 여러 복잡한 수학적 개념과 이론을 결합하여 긴 과정을 거쳤습니다. 아래는 그 과정의 주요 단계입니다.
### 1. **문제의 배경 이해**
- 페르마의 마지막 정리는 "n이 2보다 큰 정수일 때, x^n + y^n = z^n을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다"는 내용입니다. 이 정리는 1637년에 제안되었고, 358년 동안 증명되지 않았습니다.
### 2. **타니야마-시무라 정리**
- 와일스는 타니야마-시무라 정리에 주목했습니다. 이 정리는 특정 종류의 타원 곡선과 모듈러 형식 간의 관계를 다룹니다. 와일스는 페르마의 마지막 정리가 참이라면, 모든 타원 곡선이 모듈러 형식과 관련이 있어야 한다고 주장했습니다.
### 3. **타원 곡선과 모듈러 형식**
- 와일스는 타원 곡선의 성질을 연구하고, 이를 모듈러 형식과 연결짓기 위해 많은 수학적 도구를 사용했습니다. 그는 타원 곡선의 특정 성질이 모듈러 형식으로 표현될 수 있음을 보여주기 위해 노력했습니다.
### 4. **증명 작업**
- 1986년부터 1994년까지 와일스는 자신의 증명을 위해 집중적으로 연구했습니다. 그는 여러 가지 수학적 기법을 사용하여 타니야마-시무라 정리를 증명하는 방향으로 나아갔습니다. 이 과정에서 그는 다양한 수학자들과 협력하고, 그들의 연구를 참고했습니다.
### 5. **증명의 발표**
- 1993년, 와일스는 자신의 증명을 발표했습니다. 그러나 초기 발표 후, 일부 오류가 발견되었습니다. 이에 따라 그는 1994년까지 오류를 수정하고, 최종적인 증명을 완성했습니다.
### 6. **최종 증명**
- 와일스의 최종 증명은 타원 곡선과 모듈러 형식 간의 관계를 확립하는 데 성공했습니다. 그는 이 증명을 통해 페르마의 마지막 정리가 참임을 보였습니다. 그의 연구는 현대 수학의 여러 분야를 아우르는 복잡한 내용을 포함하고 있습니다.
### 7. **결과와 영향**
- 와일스의 증명은 수학계에 큰 반향을 일으켰고, 그는 1998년에 아벨 상을 수상하는 등 많은 찬사를 받았습니다. 그의 연구는 타원 곡선 이론과 모듈러 형식 이론의 발전에 기여했으며, 이후에도 많은 연구자들이 그의 결과를 바탕으로 새로운 연구를 진행하고 있습니다.
와일스의 증명은 수학의 여러 분야를 연결하는 중요한 이정표가 되었으며, 페르마의 마지막 정리는 이제 수학 역사에서 중요한 위치를 차지하고 있습니다.
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앤드류 와일스의 페르마의 마지막 정리 증명에서 사용된 타원 곡선의 특성은 여러 가지가 있습니다. 이들 특성은 타원 곡선이 모듈러 형식과 연결되는 데 중요한 역할을 합니다. 주요 특성은 다음과 같습니다:
1. **정의와 형태**
- 타원 곡선은 일반적으로 다음과 같은 형태의 방정식으로 정의됩니다:
[ y^2 = x^3 + ax + b ]
여기서 (a)와 (b)는 실수이며, 판별식 (4a^3 + 27b^2 neq 0)이어야 합니다. 이 조건은 곡선이 특이점이 없음을 보장합니다.
2. **군 구조 (Group Structure)**
- 타원 곡선은 점들 간의 덧셈 연산을 정의할 수 있어 군 구조를 형성합니다. 이 군 구조는 타원 곡선의 중요한 성질로, 점 (P)와 (Q)의 합 (P + Q)를 정의할 수 있습니다. 이 군 구조는 타원 곡선의 연구에 필수적입니다.
3. **유한한 점의 수 (Finite Points)**
- 유한체 위의 타원 곡선은 유한한 점의 수를 가집니다. 이는 유한체의 크기와 타원 곡선의 특성에 따라 달라지며, 이는 수론적 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 합니다.
4. **L-함수와 모듈러성**
- 타원 곡선은 L-함수와 관련이 있으며, 이 L-함수는 타원 곡선의 성질을 연구하는 데 사용됩니다. 와일스는 타원 곡선이 모듈러 형식과 관련이 있음을 증명하기 위해 이 L-함수를 활용했습니다.
5. **모듈러 형식과의 관계**
- 타원 곡선은 모듈러 형식과 깊은 관계가 있습니다. 타원 곡선이 모듈러 형식으로 표현될 수 있다는 것은 타원 곡선의 성질을 이해하는 데 중요한 통찰을 제공합니다. 와일스는 타니야마-시무라 정리를 통해 이 관계를 증명했습니다.
6. **자기 동형사상 (Endomorphism)**
- 타원 곡선은 자기 동형사상을 가질 수 있으며, 이는 타원 곡선의 대칭성과 관련이 있습니다. 이러한 자기 동형사상은 타원 곡선의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 합니다.
7. **비가환 군 (Non-abelian Groups)**
- 타원 곡선의 군 구조는 비가환 군의 성질을 가질 수 있으며, 이는 더 복잡한 대수적 구조를 연구하는 데 기여합니다.
8. **해석적 성질 (Analytic Properties)**
- 타원 곡선은 복소수 평면에서 해석적 성질을 가지며, 이는 복소 해석학과의 연결을 통해 더 깊은 이해를 제공합니다.
이러한 특성들은 타원 곡선이 수론과 대수기하학에서 중요한 역할을 하게 만들며, 와일스의 증명에서 핵심적인 요소로 작용했습니다. 타원 곡선의 연구는 현대 수학의 여러 분야에 걸쳐 깊은 영향을 미치고 있습니다.
*에듀진 기사 URL: http://www.edujin.co.kr/news/articleView.html?idxno=41250
*출처=wikipedia